Posée dans cette rubrique il y a quelques semaines, la question de la résistance équivalente d’un ballon de foot fait de résistances n’était manifestement pas si simple que cela. Nous n’avons en tout cas pas reçu beaucoup de réponses correctes sur la manière de réduire cet icosaèdre tronqué dont les 90 arêtes sont remplacées chacune par une résistance de 1 MΩ.

 

Au labo d’Elektor nous avons mis assemblé ce ballon de foot avec des résistances de 2 % de précision. Sur l’image ci-dessus du ballon aplati, où il faut imaginer toutes les arêtes comme des résistances de 1 MΩ, si on mesure la résistance entre les points A et B, ce qui correspond à une arête de pentagone sur le ballon assemblé (ou entre les points B & C, C & D, D & E ou E & A) on relève 0,65 MΩ. Entre les points A et F on trouve 0,67 MΩ. Pour la résistance du ballon entier relevée entre deux pôles (diamétralement opposés) nous avons mesuré 1,545 MΩ.

 

Voilà pour la méthode expérimentale. Reste la question du calcul, dont voici trois solutions correctes. Compatriote du sieur Leonardo da Vinci, M. Cianferotti a donné un coup de boule au ballon pour l’aplatir afin d’en calculer la valeur équivalente à l’aide des techniques classiques de calcul des résistances en série et en parallèle. Ses opérations occupent huit pages.
M. Pfister nous a fait parvenir de Suisse un logiciel écrit en C qui permet de calculer la résistance équivalente.
M. van der Linden nous a fait parvenir des Pays-Bas une réponse brillante de simplicité :

sqrt((360/PI)(sommets/(arêtes*faces)))

= sqrt((360/PI)(60/(90*32)))

= 1.545096808.

Seul un Américain, M. Wurcer a eu recours à la « divine proportion » PHI (1+sqrt(5))/2 pour arriver à la réponse suivante (qui elle tient en huit signes !) :

5/(2*PHI) = 1.545084972.

 

Qui dit vrai ? Si vous avez-vous-même une solution, n’hésitez pas à nous l’envoyer ou à la poster sur le blog en cliquant sur le premier lien ci-dessous, où vous pouvez lire encore d’autres réponses.